Har knarröst periodicitet i sig
Kaosteori
Kaosteori existerar en forskningsområde var kaotiska attribut hos struktur studeras. Kaosforskning kallas även kaologi. Kaosforskningen sträcker sig ovan flera ämnesområden, mot modell matematik, fysik, vetenskapen om resurserhandel och finans, meteorologi samt ekologi. Kaotiska struktur existerar struktur var små förändringar inom begynnelsevillkor (tillstånd nära enstaka godtyckligt vald tidpunkt) ger stora samt vid sikt oförutsägbara skillnader inom förloppet, en fenomen likt kallas fjärilseffekten. Oförutsägbara skillnader är kapabel uppstå även angående systemet styrs från deterministiska lagar. Deterministiskt betyder för att nästa tillåtelse inom systemet inom princip är kapabel beräknas precist ifall varenda värden vilket beskriver systemets tillåtelse existerar kända.[1] Ifråga ifall kaotiska struktur leder nödvändiga förenklingar (t.ex. mätfel alternativt avrundning) inom flera fall mot oacceptabelt stora fel.
Exempel vid deterministiskt system:
Om en struktur beskrivs från den rekursiva ekvationen kunna oss besluta detaljerad förutsatt för att oss känner mot värdet vid var . angående oss börjar tillsammans blir nästa värde , värdet därpå blir 6 samt sålunda vidare.
Andra aspekter från kaos liksom studeras existerar självorganisation samt mönsterbildning, hur struktur likt startar inom enkla alternativt slumpmässiga status producerar regelbundna alternativt komplexa beteenden.
Icke-linjäritet
[redigera | redigera wikitext]En förutsättning på grund av för att en struktur bör behärska bete sig kaotiskt existerar för att detta ej existerar linjärt.[2] en modell vid en icke-linjärt struktur existerar positionen från en objekt fäst nära enstaka fjäder liksom svänger fram samt tillbaka kring en jämviktsläge tillsammans med enstaka därför kallad lätt harmonisk svängning. Då fjädern blir utdragen alternativt hoptryckt verkar fjädern tillsammans enstaka ”återställande” kraft vid föremålet, riktad mot jämviktsläget. Kraften liksom fjädern påverkar föremålet tillsammans existerar emellertid direkt proportionell mot avståndet mot jämviktsläget samt förmå beskrivas såsom en linjärt system:[3]:
där F existerar fjäderkraften, k existerar enstaka konstant samt x existerar föremålets position. Minustecknet kommer sig från för att kraften existerar återupprättande. i enlighet med Newtons andra team gäller att[3]:
där F står till kraft, m till massa samt a på grund av acceleration. eftersom accelerationen existerar andraderivatan från positionen tillsammans avseende vid tiden förmå svängningen i enlighet med dem numeriskt värde ovanstående ekvationerna beskrivas tillsammans med differentialekvationen[3]:
Lösningen från differentialekvationen ger positionen vilket funktion från tiden. ifall fjäderkraften plats beroende från x vid en mer komplicerat sätt, mot modell , var b existerar ett konstant, förmå svängningen istället beskrivas tillsammans med differentialekvationen[2]:
Detta existerar en modell vid en icke-linjärt struktur. Lösningen blir (vid vissa initialtillstånd) enstaka avtagande sinusrörelse, vilket ej existerar kaotisk utan predikterbar angående initialtillståndet existerar känt. enstaka många små förändring från initialtillståndet förändrar resultatet många litet (exempelvis amplituden). varenda kaotiska struktur existerar icke-linjära, dock, vilket detta modell visar, existerar samtliga icke-linjära struktur ej kaotiska[2].
Kombineras numeriskt värde pendlar mot enstaka dubbelpendel kunna man istället visa för att detta blir en kaotiskt struktur, vilket existerar känsligt på grund av små förändringar från initialtillståndet.
Fjärilseffekten
[redigera | redigera wikitext]En betydande föregångare mot vad vilket idag existerar kaosforskning plats den amerikanska matematikern samt meteorologen Edward Lorenz. beneath 1950- samt 1960-talet skapade denne enstaka lätt vädermodell bestående från en ekvationssystem tillsammans med tolv variabler liksom beskrev attribut såsom temperatur samt vindriktning. han födda in en antal initialvärden samt lät sedan ett datamaskin simulera vädrets tillväxt. Även angående detta fanns enstaka väldigt grov modell från verklighetens komplicerade vädersystem, visade den attribut likt tycktes påminna många angående verkligheten. Vädret inom modellen tycktes fortgå utan för att upprepa sig.[4]
En dygn ville Lorenz upprepa enstaka bit från enstaka simulering han låtit utföra förut. dock på grund av för att spara period födda denne ej in initialvärdena samt lät simuleringen starta angående ifrån start, utan födda istället in värden ifrån ett utskrift ifrån mitt inom den tidigare simuleringen samt startade sedan programmet. då denne senare kom tillbaks mot sitt arbetsrum på grund av för att granska resultatet upptäckte denne något överraskande. eftersom denne ägde matat in identisk värden likt nära den tidigare simuleringen förväntade han sig för att den andra simuleringen skulle följa precist identisk mönster, dock sålunda fanns ej fallet. Den andra simuleringen följde den tidigare en tag dock avvek sedan kraftigt samt gav helt andra värden. Efter för att äga undersökt saken närmare konstaterade Lorenz för att orsaken mot för att den andra simuleringen avvikit, plats för att dem värden denne matat in fanns avrundade. Den lilla avrundning han ägde gjort ägde mot slut gjort ”vädret” inom simuleringen helt annorlunda.[4]
Detta fenomen, för att små förändringar inom initialvärden är kapabel ge upphov mot stora samt oförutsägbara förändringar, kom sedan för att kallas Fjärilseffekten samt existerar en viktigt grundbegrepp inom kaosforskningen.[4] Namnet kommer ifrån start ifrån titeln mot en anförande liksom Lorenz höll 1972. “Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil set off a Tornado in Texas”. Tanken på baksidan existerar för att angående vädersystemet existerar en kaotiskt, kunna vindpusten ifrån ett fjärilsvinge ge stora förändringar inom vädret vid sikt[2].
Lorenz insåg snabbt för att Fjärilseffekten betydde för att långsiktiga väderprognoser inom praktiken existerar omöjliga. Även tillsammans oerhört sofistikerade matematiska modeller ovan vädersystemet samt många exakta mätningar går detta ej för att förutse vädret vid utdragen sikt, eftersom detta existerar omöjligt för att uppmäta helt exakta initialvärden inom varenda punkt vid jorden[4].
Brus, komplexitet alternativt kaos?
[redigera | redigera wikitext]I en kaotiskt struktur är kapabel liksom tidigare nämnts ett små förändring från initialvärden leda mot stora förändringar vid sikt. ifall detta sker förmå systemet efterhand börja bete sig mot synes helt slumpmässigt. ifall detta existerar en deterministiskt struktur existerar beteendet ej slumpmässigt inom egentlig fras, eftersom varenda nytt värde är kapabel bestämmas tillsammans med dem ekvationer vilket beskriver systemet[2].
Utan för att ta hänsyn mot kaos finns numeriskt värde klassiska förklaringar mot för att struktur beter sig mot synes slumpmässigt. Den inledande existerar för att detta finns störningar, mot modell temperaturförändringar alternativt mekaniska skakningar, liksom påverkar systemet vid något oförutsägbart sätt. eftersom dessa utomstående faktorer förmå existera slumpmässiga existerar detta ej konstigt för att systemet beter sig oförutsägbart. Den andra förklaringen existerar för att dem flesta verkliga struktur, mot modell ett djurpopulations tillväxt, existerar därför komplexa, detta önskar yttra besitter därför flera inverkade parametrar, för att detta existerar omöjligt för att tillräckligt detaljerad uppmäta dem på grund av för att behärska förutsäga systemet[2].
Men detta finns enkla struktur, var samtliga parametrar kunna bestämmas, vilket utan för att påverkas från några störningar ändå blir kaotiska samt omöjliga för att förutsäga. detta existerar detta såsom teorierna angående kaos förklarar[2].
Exempel vid kaotiskt system
[redigera | redigera wikitext]Ett modell vid en kaotiskt struktur existerar ett magnetisk pendel. vid pendeln finns ett magnet samt beneath pendeln finns fyra magneter tillsammans motsatt pol liksom alltså attraherar magneten vid pendeln. detta visar sig för att på grund av dem flesta startlägen existerar detta omöjligt för att att fatta beslut eller bestämma något nära vilken magnet liksom pendeln kommer för att stanna. Systemet verkar artikel kaotiskt! detta går för att protestera för att experimentet möjligen ej existerar noggrant nog till för att en mönster skall behärska upptäckas (brusförklaringen i enlighet med ovan). Systemet existerar uppenbarligen känsligt på grund av förändringar från startläget, dock möjligen går detta för att förutsäga slutresultatet angående startpositionen förmå ställas in tillräckligt noga. detta går även för att protestera för att detta möjligen går för att förutsäga plats pendeln bör hamna dock för att systemet existerar på grund av invecklat på grund av för att sambandet bör existera klart (komplexitetsargumentet enl. ovan). Detta existerar dock ej fallet samt detta finns dessutom modell vid struktur såsom existerar väl definierade från enkla matematiska formler vilket ändå uppträder kaotiskt.
Fasrum samt den mystiska attraktorn
[redigera | redigera wikitext]Ett fasrum existerar en teoretisk plats inom fysik samt matematik vilket är kapabel användas till för att visa förändringar inom en dynamiskt struktur. varenda frihetsgrad alternativt parameter inom detta dynamiska systemet representeras från ett axel inom fasrummet samt varenda möjligt tillåtelse (kombination från parametrar) inom systemet representeras från ett punkt inom fasrummet[4].
Ett modell existerar enstaka svängande pendel tillsammans frihetsgraderna hastighet samt position. Pendelns rörelse är kapabel representeras inom en platt fasrum tillsammans position vid x-axeln samt hastighet vid y-axeln. angående pendeln ej utsätts på grund av någon friktion alternativt liknande kraft liksom fullfölja för att systemet förlorar energi blir bilden inom fasrummet till den svängande pendeln enstaka cirkel. angående pendeln däremot utsätts till mot modell friktion kommer systemet för att förlora energi, hastigheten samt positionen kommer för att närma sig noll samt bilden från pendeln inom fasrummet blir istället ett inåtgående spiral vilket närmar sig origo inom diagrammet.[4]
I exemplet ovan närmar sig kurvan inom diagrammet enstaka punkt inom origo. ett sådan punkt kallas på grund av attraktor eftersom den ”attraherar” kurvan. angående systemet existerar periodiskt, vilket inom fallet var pendeln existerar friktionsfri, blir bilden inom fasrummet även periodisk. Denna periodicitet existerar även enstaka attraktor[4].
Efter för att Lorenz gjort upptäckten för att hans vädermodell uppträdde kaotiskt konstruerade han enstaka lätt modell från konvektion inom enstaka vätska likt även ägde den egenskapen. tillsammans modellen demonstrerade han för att även en enkelt struktur kunna artikel kaotiskt. Systemet kunna beskrivas tillsammans med nästa tre ekvationer[4]:
När Lorenz plottade systemets beteende inom en tredimensionellt (fas)rum visade detta sig för att kurvan varken slutade inom enstaka punkt alternativt inom enstaka periodisk väg eller spår. inom stället gick den inom en slags oändligt komplex dubbelspiral likt inte någonsin lämnade området, dock ej heller upprepade sig. Detta fenomen kom senare för att ett fåtal namnet mystisk alternativt säregen attraktor[4].
Kopplingen mot fraktaler
[redigera | redigera wikitext]Med dem mystiska attraktorerna följde frågan: hur existerar detta möjligt för att ett oändligt utdragen kurva kunna rymmas inom en ändligt stort lokal utan för att skära sig själv? denna plats finns ett koppling mot fraktaler även ifall begreppet ej plats uppfunnet än då Lorenz gjorde sin upptäckt 1963. Fraktaler besitter nämligen just den egenskapen, för att konturerna existerar oändligt långa samt inte någonsin skär sig själva trots för att figuren ryms inom en ändligt lokal [4].
Se även
[redigera | redigera wikitext]| Den denna plats artikeln ingår inom boken: Matematik |
Noter
[redigera | redigera wikitext]- ^Lundqvist, Stig.
- ^ [abcdefg] Hilborn, Robert C. (2000).
- ^ [abc] Randall, D. Knight (2008).
- ^ [abcdefghij] Gleick, James (1987).
Källförteckning
[redigera | redigera wikitext]Gleick, James (1987). Kaos. Stockholm: Bonnier information bokförlag AB.
Hilborn, Robert C. (2000). Chaos and Nonlinear Dynamics: An Introduction for Scientists and Engineers (Elektronisk) New York: Oxford University Press. Tillgänglig: Oxford Scholarship Online (2010-05-11).
Lundqvist, Stig. Kaos. inom Nationalencyklopedin (Elektronisk). Tillgänglig: < www.ne.se > (2010-05-11).
Randall, D. Knight (2008). Physics For scientists and Engineers: A Strategic Approach. Second edition. San Francisco: Pearson Addison-Wesley.