Matte 2b kapitel 2 uppgifter

I detta förra avsnittet tittade oss tillsammans med hjälp från variationsbredd samt kvartiler vid observationsvärdenas spridning runt medianen, dock man är kapabel även artikel intresserad från mått för hur något sprids vilket gäller spridning runt medelvärdet. detta vanligaste måttet vid spridning runt medelvärdet existerar standardavvikelse, vilket oss bör bekanta oss tillsammans inom detta avsnitt.

Definition från standardavvikelse

Med standardavvikelsen menar oss en mått vid den genomsnittliga avvikelsen ifrån medelvärdet inom ett serie observationsvärden. Ju större standardavvikelsen existerar, desto större existerar spridningen bland våra observationsvärden.

När oss bör beräkna standardavvikelsen börjar oss tillsammans med för att beräkna medelvärdet till observationsvärdena (vilket oss på denna plats betecknar tillsammans med m) samt sedan kalkylerar oss hur många varenda enskilt observationsvärde (här betecknat tillsammans x) avviker ifrån detta medelvärde.

Avvikelsen ifrån medelvärde på grund av en observationsvärde kunna oss därför notera som

$$x-m$$

där x existerar observationsvärdet samt m existerar medelvärdet på grund av serien.

I nästa steg kvadrerar oss fanns samt ett från dessa avvikelser ifrån medelvärdet, vilket får mot resultat dels för att samtliga våra kvadrerade avvikelser blir positiva, dels för att stora avvikelser inom kvadrerad struktur blir ännu större inom jämförelse tillsammans små kvadrerade avvikelser.

Den kvadrerade avvikelsen till en observationsvärde blir därför

$$(x-m)^2$$

När oss äger dessa kvadrerade avvikelser på grund av vart samt en från våra observationsvärden önskar oss ju äga reda vid hur massiv den genomsnittliga kvadrerade avvikelsen existerar. Därför summerar oss samtliga kvadrerade avvikelser samt dividerar denna summa tillsammans med antalet observationsvärden, vilket ger oss följande:

$$\frac{\sum {(x-m)^2}}n$$

där n existerar antalet observationer.

Nu existerar oss nästan klara, dock detta värde oss får från formeln ovan äger ej identisk avdelning såsom observationsvärdena. till för att rätta mot detta kalkylerar oss roten ur vår genomsnittliga kvadrerade avvikelse.

Sammanfattningsvis får oss därför nästa formel på grund av standardavvikelsen:

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum {(x-m)^2}}{n}}$$

där ∑ existerar summan från detta liksom följer mot motsats till vänster, x existerar en enskilt observationsvärde, m existerar medelvärdet, samt n existerar antalet observationer.

Standardavvikelse

Låt oss idag titta vid numeriskt värde konkreta modell vid kalkyl från standardavvikelse tillsammans med hjälp från fallen tillsammans åldersspridningen nära våra båda middagar, liksom oss existerar bekanta tillsammans med ifrån dem tidigare statistikavsnitten.

Vid släktmiddagen äger oss deltagare tillsammans nästa åldrar (observationsvärden) samt medelvärde, \(m_s\):

$$1,\, 4,\, 3,\, 15,\, 72,\, 41,\, 30,\, 27,\, 72,\, 8,\, 42,\, 36,\, 33,\, 46,\, 44$$

$$medelvärde\, (m_s) = 31,6\,år$$

Vid kompismiddagen äger oss deltagare tillsammans med nästa åldrar (observationsvärden) samt medelvärde, \(m_k\):

$$30,\, 31,\, 33,\, 34,\, 35,\, 34,\, 28,\, 34,\, 33,\, 34,\, 36,\, 35,\, 32,\, 31,\, 32$$

$$medelvärde\, (m_k)=32,8\,år$$

Nu förmå oss räkna ut avvikelsen ifrån medelvärdet på grund av vart samt en från dessa observationsvärden.

I tabellen nedan äger oss räknat ut avvikelsen på grund av såväl släktmiddagen såsom kompismiddagen:

När oss för tillfället besitter beräknat avvikelsen ifrån medelvärdet till vart samt en från observationsvärdena, bör oss kvadrera dessa avvikelser. Dessa kvadrerade avvikelser kalkylerar oss samt redovisar inom nästa tabell:

Nu summerar oss dem kvadrerade avvikelserna till dem båda serierna samt kalkylerar standardavvikelsen till dem båda middagssällskapen.

För släktmiddagen får vi

$$\sigma_s=\sqrt{\frac{\sum {(x_s-m_s)^2}}{n}}=\sqrt{\frac{7215,6}{15}}\approx21,9$$

och på grund av kompismiddagen

$$\sigma_k=\sqrt{\frac{\sum {(x_k-m_k)^2}}{n}}=\sqrt{\frac{64,4}{15}}\approx2,1$$

Som oss ser besitter oss likt väntat enstaka betydligt större spridning inom fallet tillsammans med släktmiddagen (21,9 år) än nära kompismiddagen (2,1 år) även då oss för tillfället tittar vid spridningen ifrån medelvärdet.

Standardavvikelse nära stickprovsundersökningar

I våra exempelfall denna plats ovanför äger oss räknat vid standardavvikelsen inom läka populationen (åldern vid samtliga deltagare nära respektive kvällsmål plats känd), dock utför man enstaka större statistisk studie tittar man oftast bara vid en stickprov från populationen man undersöker. Standardavvikelsen på grund av en stickprov får oss genom formeln

$$s = \sqrt{\frac{\sum (x-m)^{2}}{n-1}}$$

Skillnaden mot den vanliga formeln på grund av standardavvikelsen består inom för att man inom detta på denna plats fallet dividerar tillsammans med (n - 1) istället på grund av n. Anledningen mot för att man använder detta värde existerar för att man genom stickprovsundersökningar inom praktiken äger märkt för att detta ger enstaka förbättrad uppskattning från den faktiska standardavvikelsen inom kurera populationen angående man utför så.

Ett vanligt användningsområde till standardavvikelsen existerar nära normalfördelning, vilken oss kommer för att bekanta oss tillsammans inom nästa avsnitt.